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(周向宇)多复变与复几何方向取得进展
2018-06-13 | 编辑:华罗庚数学中心

  1)        全纯凸流形上拟有效线丛的消没定理 

  拟有效(Pseudoeffective)线丛是复几何与复代数几何中重要的研究对象,其本质是研究线丛的奇异度量所蕴含的代数性质。根据Nadel的做法,在适当的正性假设下,奇异度量会引导出乘子理想层(multiplier ideal sheaves)。而乘子理想层可以将解析对象转化为代数对象并且对奇点的性质有着比较好的刻画,再加上奇异度量选取的灵活性,因此Nadel型消没定理(是代数几何中Kodaira消没定理、Kawamata-Viehweg消没定理的推广)在复几何与复代数几何中研究中有着广泛的应用。近年来乘子理想层的研究及其在代数几何上的应用取得一系列重大的进展,是非常活跃的研究方向。Meng-Zhou主要研究的是非紧流形上带乘子理想层的上同调群的性质,考虑对象主要是全纯凸流形上赋有奇异度量的拟有效线丛。  

  Meng-Zhou得到一些Nadel型消没定理, Ohsawa型有限性定理和向量丛取值的Lefschetz型满射定理。该工作已经被杂志Journal of Algebraic Geometry 接受。审稿人对该工作给以了高度评价并且认为文章也值得在Invent. Math.上发表(“since the results are much more advanced than the paper [...], I would also recommend this paper for a publication in Invent. Math.”)。 

  2)        弱拟凸Kahler流形上最优L2延拓 

  最优L2延拓问题是近些年来国际上比较关注的一个问题。当流形是Stein流形或者射影代数流形时,Guan-Zhou之前的一系列研究工作已经很好地解决了这个问题。最近,Zhou-Zhu研究了当流形推广到弱拟凸Kahler时的情形,并且很好地解决了这个情形下的最优L2延拓问题。具体来说,证明了如下结果:针对弱拟凸Kahler流形上带半正定奇异度量的全纯线丛,如果典则丛与这个线丛做张量积后得到的线丛限制在子流形上的某个全纯截面满足在这个子流形上的带奇异度量的L2积分有限,那么这个全纯截面可以全纯延拓到整个流形上,而且得到的全纯延拓在整个流形上的带奇异度量的L2积分被子流形上的那个L2积分一致控制,并且其中的一致控制常数是最优化的数值常数,仅与子流形的余维数有关。相关论文已被期刊Journal of Differential Geometry接受发表: 

  Xiangyu Zhou and Langfeng Zhu, An optimal L2 extension theorem on weakly pseudoconvex Kahler manifolds, to appear in Journal of Differential Geometry. 

  3)        关于多次调和函数为权的积分的稳定性的重要结果 

  以多次调和函数为权的积分的稳定性是国际上比较关注的一个重要问题。萧荫堂先生在这个问题上得到过一个重要结果:对于一个定义在多圆柱上的多次调和函数,如果在中央切片上以它为权函数的积分是有限的,那么当附近切片不断向中央切片靠近时,这些附近切片上以这个多次调和函数为权函数的积分具备下极限有界的性质。萧的这个结果有重要的应用,例如被D. H. PhongJ. Sturm用于研究单参数形变中的全纯稳定性问题。 

  Zhou-Zhu对萧荫堂先生的重要结果做了进一步研究,并改进了这个结果。具体来说,证明了:对于一个定义在多圆柱上的多次调和函数,如果在中央切片上以它为权函数的积分是有限的,那么在平均意义下,以这个多次调和函数为权函数的积分收敛于中央切片上的积分。这个结果的一个推论就是得到了萧荫堂先生的结果的最优估计式。相关论文已被期刊Mathematical Research Letters接受发表。 

  发表或接受发表文章 

  1. Xiangyu Zhou (joint with Deng, Zhang): Positivity of character subbundles and minimum principle for noncompact group actions, Math. Z. 286(2017), no. 1-2, 431-442. 

  2. Xiangyu Zhou (joint with Ning, Zhang): Proper holomorphic mappings between invariant domains in Cn. Transaction of AMS, 369(2017), 517-536. 

  3. Xiangyu Zhou (joint with Ning): The degree of biholomorphic mappings between special domains in Cn preserving 0. Science China Mathematics, 60(2017), no.6, 1077-1082. 

  4. Xiangyu Zhou (joint with Guan): Strong openness of multiplier ideal sheaves and optimal L2 extension. Science China Mathematics, 60(2017), no. 6, 967-976. 

  5. Xiangyu Zhou (joint with Guan): Lelong numbers, complex singularity exponents, and Siu's semicontinuity theorem. Comptes Rendus Mathematique, 355(2017), no.4, 415-419. 

  6. Xiangyu Zhou (joint with Zhu): An optimal L2 extension theorem on weakly psedoconvex K?hler manifolds, Journal of Diff. Geom., accepted. 

   7. Xiangyu Zhou (joint with Zhu):  A generalized Siu's lemma, Math. Research Letters, accepted. 

  8. Xiangyu Zhou (joint with Meng): Pseudo-effective line bundles over holomorphically convex manifolds, Journal of Algebraic Geom., accepted. 

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